Question

20．某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：
（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；
（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？
（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出众数、中位数．
（2）先求出成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率，由此能求出[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数．
（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．由此利用列举法能求出成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
众数为：$\frac{60+70}{2}$=65．
成绩在[50，70）内的频率为：（0.005+0.035）×10=0.4，
成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10=0.3，
∴中位数为：70+$\frac{0.1}{0.3}$×10≈73.3．
（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，
∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．
（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；
成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．
∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有${A}_{6}^{2}=30$种，分别为：
ab，ba，ac，ca，ad，da，ae，ea，af，fa，bc，cb，bd，db，be，eb，bf，fb，cd，dc，ce，ec，cf，fc，de，ed，df，fd，ef，fe，
记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q，
则事件Q包含的基本事件有18种，
∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率P（Q）=$\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查众数、中位数、频数、概率、列举法等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．