Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，M，N分别为B₁C，A₁A上的点，且$\frac{{B}_{1}M}{MC}$=$\frac{{A}_{1}N}{NA}$=$\frac{1}{3}$
（Ⅰ）证明：MN∥平面ABC
（Ⅱ）若MN⊥B₁C，A₁A=BC=2AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在BC上取一点D，使得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{3}$，连结AD，推导出四边形MNAD是平行四边形，从而MN∥AD，由此能证明MN∥平面ABC．
（Ⅱ）推导出MN⊥B₁C，AD⊥B₁C，B₁B⊥AD，AD⊥BC，从而AB=2BD，∠BAD=30°，∠ABD=60°，由此能示出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答 证明：（Ⅰ）在BC上取一点D，使得$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{3}$，连结AD，
在△BCB₁中，$\frac{{B}_{1}M}{MC}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{3}$，
∴MD∥B₁B，且MD=$\frac{3}{4}$B₁B，
又$\frac{{A}_{1}N}{NA}=\frac{1}{3}$，∴NA=$\frac{3}{4}{A}_{1}A$，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A∥B₁B，且A₁A=B₁B，
∴MD∥NA，且MD=NA，
∴四边形MNAD是平行四边形，∴MN∥AD，
∵MN?平面ABC，AD?平面ABC，∴MN∥平面ABC．
解：（Ⅱ）MN⊥B₁C，由（Ⅰ）知AD⊥B₁C，
又A₁A⊥底面ABC，∴B₁B⊥底面ABC，∴B₁B⊥AD，
∵B₁B∩B₁C=B₁，∴AD⊥平面B₁BC，∴AD⊥BC，
∵BC=2AB，BC=4BD，∴AB=2BD，
∴∠BAD=30°，∠ABD=60°，
∵AB=1，A₁A=2，BC=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BC×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
V=$A{A}_{1}×{S}_{△ABC}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．