Question

14．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGF是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．
（1）求证：平面BCG⊥平面EHG；
（2）若a=4，求四棱锥G-BCEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BH，推导出HG⊥GB，DA⊥AF，DA⊥AB，CB⊥HG，从而HG⊥平面BCG，由此能证明平面BCG⊥平面EHG．
（2）过B作AF的平行线交FG的延长线于点P，连结AP、FB，交于点O，过G作GK⊥FB于K，由此能求出四棱锥G-BCEF的体积．

解答 证明：（1）连结BH，
∵四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGF是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH，
∴AH=$\frac{3}{4}a，AB=a$，∴HB=$\sqrt{（\frac{3}{4}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}a$，HG=$\sqrt{（\frac{1}{4}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，
GB=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴HB²=HG²+GB²，∴HG⊥GB，
∵DA⊥AF，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABGH，
又∵CB∥DA，∴CB⊥平面ABGF，∴CB⊥HG，
∵GB∩CB=B，∴HG⊥平面BCG，
∵HG⊥平面EHG，∴平面BCG⊥平面EHG．
解：（2）过B作AF的平行线交FG的延长线于点P，连结AP、FB，交于点O，
过G作GK⊥FB于K，则GK=$\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴四边形BCEF的面积S=4×$4\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$，
∴四棱锥G-BCEF的体积V_G-BCEF=$\frac{1}{3}×16\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．