Question

4．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DC的中点，若$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$+$μ\overrightarrow{BF}$，则λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． 1
• C． $\frac{8}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据平面向量的运算法则，将向量$\overrightarrow{AC}$用平行四边形的各边对应向量表示，结合平面向量基本定理得到关于λ，μ的方程组解之．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
由已知$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$+$μ\overrightarrow{BF}$=$λ（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）$+$μ（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）$=（$λ-\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{AB}$+（$\frac{1}{2}λ+μ$）$\overrightarrow{BC}$，
根据平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ+μ=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{6}{5}}\\{μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
所以λ+μ=$\frac{8}{5}$；
故选C．

点评 本题考查了平面向量的运算法则以及基本定理得到运用；考查了方程组思想；属于基础题．