Question

18．设p是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{9}$=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若|PF₁|=5，则|PF₂|=（　　）

• A． 1或5
• B． 1或9
• C． 1
• D． 9

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，结合题意可得$\frac{3}{a}$=$\frac{3}{2}$，解可得a的值，可得双曲线的标准方程，由|PF₁|=5分析可得P在双曲线的左支上，由双曲线的定义即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{9}$=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{3}{a}$x，
又由双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，即y=$\frac{3}{2}$x，
则有$\frac{3}{a}$=$\frac{3}{2}$，解可得a=2，
则双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，其中a=2，b=3，则c=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
若|PF₁|=5，则P在双曲线的左支上，
则|PF₂|=5+2a=9；
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线的方程求出a是解题的关键．