Question

8．在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出$\frac{DM}{DC}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PE⊥AD，从而PE⊥平面ABCD，进而PE⊥CD，由AB∥CD，AB⊥AD，得CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅱ）在平面ABCD内作直线EF⊥AD，以E为原点建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
（Ⅲ）在棱CD上假设存在点M，使得AM⊥平面PBE，由PE⊥平面ABCD，得PE⊥AM．要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立，利用向量法能求出$\frac{DM}{DC}=\frac{1}{4}$．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，
∴PE⊥AD．
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD．
∵CD?平面ABCD，∴PE⊥CD．
∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．
∵PE∩AD=E，∴CD⊥平面PAD．
∵CD?平面ABCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．…（4分）
解：（Ⅱ）在平面ABCD内作直线EF⊥AD．
∴EF⊥平面PAD，∴EF⊥PE．
以E为原点建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示．
则P（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，-1，0），B（2，-1，0），C（4，1，0），D（0，1，0）．
$\overrightarrow{PB}$=（2，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（4，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=4x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
设直线PB与平面PCD所成的角为α．
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{-3-3}{2\sqrt{2}×2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．…（9分）
（Ⅲ）在棱CD上假设存在点M，使得AM⊥平面PBE．
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM．
要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立．
设M（x₀，y₀，z₀），$\frac{DM}{DC}=λ$．λ∈[0，1]
∴$\overrightarrow{DM}=λ\overrightarrow{DC}$，即（x，y-1，z）=λ（4，0，0）．∴x=4λ，y=1，z=0．∴M（4λ，1，0）．
∵$\overrightarrow{EB}=（2，-1，0），\overrightarrow{AM}=（4λ，2，0）$，
∴由$\overrightarrow{EB}$⊥$\overrightarrow{AM}$，得$\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{AM}$=0，即8λ-2=0．解得$λ=\frac{1}{4}$∈[0，1]．
故$\frac{DM}{DC}=\frac{1}{4}$．…（14分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足线面垂直的线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．