Question

6．求P（x，y）是直角坐标平面xOy上的一个动点，点P到直线x=8的距离等于它到点M（2，0）的距离．
（1）求动点P的轨迹C₁的方程，并指出该轨迹为何种圆锥曲线；
（2）求曲线C₁关于直线x=8的对称曲线C₂的方程及曲线C₂的焦点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点P到直线x=8的距离等于它到点M的距离，列方程求出动点P的轨迹C₁的方程，
根据方程知该轨迹为抛物线；
（2）画出曲线C₁的图形，根据图象对称求出曲线C₂的方程和焦点坐标．

解答 解：（1）P（x，y）到直线x=8的距离等于它到点M（2，0）的距离，
∴|x-8|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$，
化简得y²=-12x+60，
∴动点P的轨迹C₁的方程为y²=-12（x-5），
∴该轨迹为顶点在（5，0），对称轴为x轴，开口向左的抛物线；
（2）如图所示，
曲线C₁的方程为y²=-12（x-5），
焦点为F₁（2，0），
曲线C₁关于直线x=8的对称曲线C₂的方程为
y²=12（x-11），
且曲线C₂的焦点坐标为F₂（14，0）．

点评 本题考查了求动点轨迹方程的应用问题，也考查了对称问题与数形结合的问题，是中档题．