Question

18．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，DD₁⊥底面ABCD，E是DD₁的中点
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面AEC
（Ⅱ）求证：平面AEC⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC与BD交于点O，接OE，可得OE∥D₁BB，即可证明BD₁∥平面AEC；
（Ⅱ）由底面ABCD是菱形，得AC⊥BD
又DD₁⊥底面ABCD，可得AC?平面AEC，即可得平面AEC⊥平面BDD₁

解答 证明：（Ⅰ）设AC与BD交于点O，接OE，
∵底面ABCD是菱形，∴O为DB中点，又因为E是DD₁的中点，
∴OE∥D₁BB，
∵OE?面AEC，BD₁?平面AEC
∴BD₁∥平面AEC
（Ⅱ）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵DD₁⊥底面ABCD，∴DD₁⊥AC，
且DB∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁．
∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BDD₁

点评 本题主要考查了平面与平面垂直、直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于中档题．