Question

3．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=（　　）

• A． $\frac{π}{2}$+1
• B． $\frac{π}{2}$+2
• C． π+1
• D． π+2

Answer 1

分析 判断P的轨迹，然后通过定积分的几何意义求解即可．

解答 解：当-2≤x≤-1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的$\frac{1}{4}$圆，
当-1≤x≤1时，P的轨迹是以B（原点为O）为圆心，半径为$\sqrt{2}$的$\frac{1}{4}$圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的$\frac{1}{4}$圆，
则${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx的几何意义是，P的轨迹与x=-1，x=1，以及x轴围成的几何图形的面积．
所以${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=1×2+$\frac{1}{4}π•（\sqrt{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}×2×1$=1+$\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．