Question

8．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x²+y²+2x-2y=0，射线OM的极坐标方程为θ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求射线OM的直角坐标方程；
（2）已知射线OM与圆C的交于两点，求相交线段的长．

Answer 1

分析 （1）极坐标与直角坐标的关系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，从而tanθ=$\frac{y}{x}$，由此能求出射线OM的直角坐标方程．
（2）圆C的直角坐标方程与射线OM的直角坐标方程联立方程组，求出射线与圆C的两个交点，由此能求出相交线段的长．

解答 解：（1）∵射线OM的极坐标方程为θ=$\frac{3π}{4}$，
极坐标与直角坐标的关系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴tanθ=$\frac{y}{x}$，即$\frac{y}{x}=tan\frac{3π}{4}$=-1，．
∴θ=$\frac{3π}{4}$表示的是射线y=-x（x≤0），
故射线OM的直角坐标方程为y=-x（x≤0）．
（2）圆C的直角坐标方程为x²+y²+2x-2y=0，圆心C（-1，1），
半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+8}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x（x≤0）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴射线OM与圆C的交于两点（0，0），（-2，2），
∴相交线段的长为：$\sqrt{（-2-0）^{2}+（2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查射线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推量论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．