Question

20．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（x²+l）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（2）=0．则不等式f（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 根据积函数的求导法则可设F（x）=（x²+1）f（x），依题意可知可判断函数F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=f（-2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则f（x）＞0的解集即可求得．

解答 解：令F（x）=（x²+1）f（x），
则F′（x）=（x²+1）f′（x）+2xf（x），
∵当x＞0时，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＜0，
∴当x＞0时，F′（x）＜0，
∴F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，
∴f（-2）=0，
∴当x＞2时，F（x）=（x²+1）f（x）＜0，
∴f（x）＞0；
又F（-x）=（x²+1）f（-x）=-（x²+1）f（x）=-F（x），
∴F（x）=（x²+1）f（x）为奇函数，又x＞0时，F（x）=（x²+1）f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴x＜0时，F（x）=（x²+1）f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（-2）=0，
∴当-2＜x＜0时，F（x）=（x²+1）f（x）＜0，从而f（x）＜0．
综上可得：当-2＜x＜0或x＞2时f（x）＜0．
∴不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）．
故选：C．

点评 本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，考查运算能力，属难题．