Question

15．在平行四边形ABCD中，E、F分别是边CD和BC的中点，若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{AF，}$其中λ，μ∈R，则λ+μ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 推导出$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，从而$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$=（$λ+\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{AD}$+（$\frac{1}{2}λ+μ$）$\overrightarrow{AB}$，由此能求出λ+μ．

解答 解：∵在平行四边形ABCD中，E、F分别是边CD和BC的中点，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{AF，}$其中λ，μ∈R，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$=λ（$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）+μ（$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$）
=（$λ+\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{AD}$+（$\frac{1}{2}λ+μ$）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ+μ=1}\end{array}\right.$，∴$\frac{3}{2}$（λ+μ）=2，
解得λ+μ=$\frac{4}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查代数式求和，考查平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．