Question

13．已知函数f（x）=|x+1|-|x-1|．
（1）解关于x的不等式f（x）≤1；
（2）设函数f（x）的最大值为M，若M=3a+4b（a＞0，b＞0），求证：$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2a+b}$≥2．

Answer 1

分析 （1）不等式?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-（x+1）+x-1≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x+1+（x-1）≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1-（x-1）≤1}\end{array}\right.$．
⇒x＜-1或-1≤x≤$\frac{1}{2}$或∅，即可；
（2）∵|x+1|-|x-1|≤|x+1-（x-1）|=2．可得2=3a+4b（a＞0，b＞0），
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2a+b}$）•[（a+3b）+（2a+b）]
=$\frac{1}{2}（2+\frac{2a+b}{a+3b}+\frac{a+3b}{2a+b}）≥\frac{1}{2}（2+2）$=2即可得证．

解答 解：（1）不等式f（x）≤1?）|x+1|-|x-1|≤1．
?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-（x+1）+x-1≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x+1+（x-1）≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1-（x-1）≤1}\end{array}\right.$．
⇒x＜-1或-1≤x≤$\frac{1}{2}$或∅
∴不等式解集为：（-$∞，\frac{1}{2}$]；
（2）证明：∵|x+1|-|x-1|≤|x+1-（x-1）|=2．∴M=2，
即可得2=3a+4b（a＞0，b＞0），
∴$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2a+b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2a+b}$）•[（a+3b）+（2a+b）]
=$\frac{1}{2}（2+\frac{2a+b}{a+3b}+\frac{a+3b}{2a+b}）≥\frac{1}{2}（2+2）$=2
当2a+b=a+3b，即a=2b时取等号．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．