Question

2．某校从高一年级随机抽取了20名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩列表如下

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数学学期综合成绩	96	92	91	91	81	76	82	79	90	93
物理学期综合成绩	91	91	90	92	90	78	91	71	78	84
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学学期综合成绩	68	72	79	70	64	61	63	66	53	59
物理学期综合成绩	79	78	62	72	62	60	68	72	56	54

规定：综合成绩不低于90分者为优秀，低于90分为不优秀
（1）在序号1，2，3，4，5，6这6个学生中随机选两名，求这两名学生数学和物理都优秀的概率
（2）根据这次抽查数据，列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关？
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

p（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值；
（2）根据抽查的数据填写2×2列联表，计算K²，对照临界值得出结论．

解答 解：（1）在前6号学生中，数学物理全优秀的序号为1、2、3、4，从前6号中选取2名学生，
不同的取法有12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56共15种；
其中两科都优秀的有12、13、14、23、24、34共6种，
故所求的概率为P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$；
（2）根据这次抽查数据，列出2×2列联表如下，

	数学优秀	数学不优秀	总计
物理优秀	4	2	6
物理不优秀	2	12	14
合计	6	14	20

假设物理成绩与数学成绩无关，根据列联表中数据
计算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{20{×（4×12-2×2）}^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488＞5.024，
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关．

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的计算问题，是基础题．