Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于-2，记顶点C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+2（0＜k＜2）与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点C（x，y），可得$\frac{y-1}{x}$•$\frac{y+1}{x}$=-2，化简得曲线E的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+2与y轴相交于点P（0，2），
与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
联立方程得（2+k²）x²+4kx+3=0；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4k}{2+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$…①
△=16k²-24-12k²=4k²-24＞0，⇒k²＞6…②
∵$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{1}，{y}_{1}-2）$，$\overrightarrow{PR}=（{x}_{2}，{y}_{2}-2）$，且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，
∴x₁=λx₂…③
由①②得（1+λ）x₂=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，$λ{{x}_{2}}^{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$
⇒$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}=\frac{3}{16}（\frac{2}{{k}^{2}}+1）$，
结合③得$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}∈（\frac{3}{16}，\frac{1}{4}）$⇒实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设点C（x，y），∵△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0），
且AC，BC所在直线的斜率之积等于-2，
∴$\frac{y-1}{x}$•$\frac{y+1}{x}$=-2，
化简得曲线E的方程为：2x²+y²=1（y≠0）；
（Ⅱ）设直线y=kx+2（0＜k＜2）与y轴相交于点P（0，2），
与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{2x}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴（2+k²）x²+4kx+3=0；
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4k}{2+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$…①
△=16k²-24-12k²=4k²-24＞0，⇒k²＞6…②
∵$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{1}，{y}_{1}-2）$，$\overrightarrow{PR}=（{x}_{2}，{y}_{2}-2）$，且$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PR}$，
∴x₁=λx₂…③
由①②得（1+λ）x₂=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，$λ{{x}_{2}}^{2}=\frac{3}{2+{k}^{2}}$
⇒$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}=\frac{3}{16}（\frac{2}{{k}^{2}}+1）$，
结合③得$\frac{λ}{（1+λ）^{2}}∈（\frac{3}{16}，\frac{1}{4}）$⇒
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{（1+λ）^{2}}＞\frac{3}{16}}\\{\frac{λ}{（1+λ）^{2}}＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{3{λ}^{2}-10λ+3＜0}\\{{λ}^{2}-2λ+1＞0}\end{array}\right.$⇒$\frac{1}{3}＜λ＜3$且λ≠1．

点评 本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与曲线的位置关系，考查了根与系数的关系、向量运算，属于中档题．