Question

6．若等式（2x-1）²⁰¹⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₇x²⁰¹⁷对于一切实数x都成立，则a₀+$\frac{1}{2}a$₁+$\frac{1}{3}$a₂+…+$\frac{1}{2018}$a₂₀₁₇=（　　）

• A． $\frac{1}{4036}$
• B． $\frac{1}{2018}$
• C． $\frac{2}{2018}$
• D． 0

Answer 1

分析 推导出-a_n=-${C}_{2017}^{n}$（-2）ⁿ=$\frac{2017!}{（2017-n）!n!}$（-2）ⁿ，（1-2x）²⁰¹⁸=${b}_{0}+{b}_{1}x+{b}_{2}{x}^{2}+…+{b}_{2017}{x}^{2017}$+${b}_{2018}{x}^{2018}$，从而${b}_{n+1}={C}_{2018}^{2n+1}（-2）^{n+1}$=${a}_{n}•\frac{4034}{n+1}$，进而（1-2x）²⁰¹⁸=1+4034（${a}_{0}x+\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}+\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}+••+\frac{1}{2018}{a}_{2017}{x}^{2008}$），令x=1，能求出a₀+$\frac{1}{2}a$₁+$\frac{1}{3}$a₂+…+$\frac{1}{2018}$a₂₀₁₇的值．

解答 解：∵等式（2x-1）²⁰¹⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₇x²⁰¹⁷对于一切实数x都成立，
∴（1-2x）²⁰¹⁷=-a₀-a₁x-a₂x²-…-a₂₀₁₇x²⁰¹⁷，
∴-a_n=-${C}_{2017}^{n}$（-2）ⁿ=$\frac{2017!}{（2017-n）!n!}$（-2）ⁿ，
∵（1-2x）²⁰¹⁸=${b}_{0}+{b}_{1}x+{b}_{2}{x}^{2}+…+{b}_{2017}{x}^{2017}$+${b}_{2018}{x}^{2018}$，
∴${b}_{n+1}={C}_{2018}^{2n+1}（-2）^{n+1}$=$\frac{-2018!}{[2018-（n+1）]!（n+1）!}•（-2）^{n+1}$
=$\frac{2017!}{（2017-n）!n!}•（-2）^{n}•\frac{-4034}{n+1}$
=${a}_{n}•\frac{4034}{n+1}$，
（1-2x）²⁰¹⁸=1+4034（${a}_{0}x+\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}+\frac{1}{3}{a}_{2}{x}^{3}+••+\frac{1}{2018}{a}_{2017}{x}^{2008}$），
令x=1，则1=1+4034（a₀+$\frac{1}{2}a$₁+$\frac{1}{3}$a₂+…+$\frac{1}{2018}$a₂₀₁₇），
∴a₀+$\frac{1}{2}a$₁+$\frac{1}{3}$a₂+…+$\frac{1}{2018}$a₂₀₁₇=0．
故选：D．

点评 本题考查有关二项式定理的代数式的和的求法，考查二项式定理及展开式系数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．