Question

13．已知椭圆经过点A（-2，0），B（0，-1），点P是椭圆上在第一象限的点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）是否存在点P，使得直线MN与直线AB平行？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意设所求椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，则有a=2，b=1，利用隐含条件求得c，则椭圆的标准方程和离心率可求；
（Ⅱ）存在点P，使得直线MN与直线AB平行．设P（m，n）（m＞0，n＞0），把P的坐标代入椭圆方程，可得m²+4n²=4．分别求出M，N的坐标，可得MN所在直线的斜率，利用k_AB=k_MN列式得到关于m，n的另一方程，联立求出m，n值得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意设所求椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵椭圆经过点A（-2，0），B（0，-1），
∴a=2，b=1，则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴所求椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（Ⅱ）存在点P，使得直线MN与直线AB平行．
设P（m，n）（m＞0，n＞0）．
则$\frac{{m}^{2}}{4}+{n}^{2}=1$，即m²+4n²=4．
∵${k_{PA}}=\frac{n}{m+2}$，∴${l_{PA}}：y=\frac{n}{m+2}（x+2）$，
令x=0，则${y_M}=\frac{2n}{m+2}$，∴$M（0，\frac{2n}{m+2}）$．
∵${k_{PB}}=\frac{n+1}{m}$，∴${l_{PB}}：y+1=\frac{n+1}{m}x$．
令y=0，则${x_N}=\frac{m}{n+1}$，∴$N（\frac{m}{n+1}，0）$．
∴${k_{MN}}=\frac{{\frac{2n}{m+2}-0}}{{0-\frac{m}{n+1}}}=\frac{2n（n+1）}{-m（m+2）}$．
若直线MN与直线AB平行，那么k_AB=k_MN．
∵${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，∴$\frac{2n（n+1）}{-m（m+2）}=-\frac{1}{2}$．
即4n²+4n=m²+2m．
∴m²-4n²+2m-4n=0．
∴（m+2n）（m-2n）+2（m-2n）=0．
即（m-2n）（m+2n+2）=0．
∵m＞0，n＞0，∴m=2n，得4n²+4n²=4．
解得$n=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则$m=\sqrt{2}$．
∴$P（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．