Question

2．（1）已知复数z=1+i，ω=$\frac{{z}^{2}-3z+6}{z+1}$（i为虚数单位），设复数ω在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{OA}$，把坐标为（0，$\sqrt{2}$）对应的向量$\overrightarrow{OB}$按照逆时针方向旋转角θ到向量$\overrightarrow{OA}$的位置，求θ的最小值；
（2）若（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）ⁿ的二项展开式中，各项的二项式系数之和是1024，求系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用复数的除法的运算法则化简复数，求出A的坐标，然后利用向量的位置关系推出θ的最小值．
（2）利用（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）ⁿ的二项展开式中，各项的二项式系数之和是1024，求出n，然后求解系数最大的项．求出展开式中第r+1项的系数，列出不等式组，求得r的范围，可得自然数r的值，从而得到系数最大的项．

解答 解：（1）复数z=1+i，ω=$\frac{{z}^{2}-3z+6}{z+1}$=$\frac{（1+i）^{2}-3（1+i）+6}{2+i}$=$\frac{3-i}{2+i}$=$\frac{（3-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{5-5i}{5}$=1-i．
A（1，-1）．
复数ω在复平面内对应的向量为$\overrightarrow{OA}$=（1，-1），
把坐标为（0，$\sqrt{2}$）对应的向量$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}$）按照逆时针方向旋转角θ到向量$\overrightarrow{OA}$的位置，
θ的最小值：$π+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$．
（2）（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）ⁿ的二项展开式中，各项的二项式系数之和是1024，
可得2ⁿ=1024，解得n=10．
由于（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）¹⁰的展开式中第r+1项的系数为${C}_{10}^{r}$•2^10-r，
再根据$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{11-r}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{9-r}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$⇒r=3．
所以系数最大的项是第4项，T₄=${C}_{10}^{3}$•2⁷${x}^{\frac{5}{2}}$=15360${x}^{\frac{5}{2}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，二项式展开式的通项公式，同时考查复数的基本运算，复数的几何意义，属于中档题．