Question

15．在△ABC中，AC=4$\sqrt{3}，∠ABC={60°}$，D为BC边上一点，BD=AB，设B，C到直线AD的距离分别为d₁和d₂，则d₁+d₂的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $4\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 直接根据直角三角函数的定义建立等式关系，利用基本不等式的性质求解即可．

解答 解：由题意△ABC中，AC=4$\sqrt{3}，∠ABC={60°}$，D为BC边上一点，
BD=AB，
如图：可知，△ABD是等边三角形，
B到直线AD的距离为d₁，
可得AD=2d₁tan30°；
C到直线AD的距离为d₂，
可得DF=d₂tan30°；
∵△AFC是直角三角形，AC=4$\sqrt{3}$，
CF²+AF²=AC²，
即（2d₁tan30°+d₂tan30°）²+d₂²=48．
整理可得：${{d}_{1}}^{2}+{d}_{1}{d}_{2}+{{d}_{2}}^{2}=36$．
则$（{d}_{1}+{d}_{2}）^{2}-36={d}_{1}{d}_{2}$，
∵${d}_{1}{d}_{2}≤\frac{（{d}_{1}+{d}_{2}）^{2}}{4}$（当且仅当d₁=d₂的时，取等号）
∴d₁+d₂≤$4\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查了三角函数的定义在直角三角形中的运用和基本不等式的性质求解最值的运用．属于中档题．