Question

12．平面向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4），$\overrightarrow{b}$=（2，x），$\overrightarrow{c}$=（2，y），已知$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，
（1）求向量$\overrightarrow{b}$和向量$\overrightarrow{c}$．
（2）求$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$夹角．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，可得-8-3x=0，6-4y=0．解得x，y．即可得出．
（2）利用$cos＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，∴-8-3x=0，6-4y=0．解得x=-$\frac{8}{3}$，y=$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{b}$=$（2，-\frac{8}{3}）$，$\overrightarrow{c}$=$（2，\frac{3}{2}）$．
（2）$cos＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{4-\frac{8}{3}×\frac{3}{2}}{\sqrt{{2}^{2}+（-\frac{8}{3}）^{2}}\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=0，
∴$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$夹角为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．