Question

8．设函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上单调递增，函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称，若对任意的x，y∈R，f（y-3）+f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=0恒成立，则$\frac{y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． [2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2$+\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• B． [2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3]
• C． [1，2$+\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由平移规律，可得y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），结合函数的单调性等式可化为y-3=-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$，平方即可得到y为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，再由直线的斜率公式，$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，通过图象观察，过O的直线OA，OB的斜率即为最值，求出它们即可．

解答 解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x+1）的图象
向右平移1个单位得到，
由于y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称，
则y=f（x）的图象关于原点对称，
则f（x）为奇函数，即有f（-x）=-f（x），
则等式f（y-3）+f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=0恒成立
即为f（y-3）=-f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=f（-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$），
又f（x）是定义在R上的增函数，
则有y-3=-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$，
两边平方可得，（x-2）²+（y-3）²=1，
即有y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，
则$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，
如图，k_OA=$\frac{3-0}{1-0}$=3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y=kx，
则由d=r得，$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得，k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由于切点在下半圆，则取k=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即为最小值．
则$\frac{y}{x}$的取值范围是[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3]．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查直线的斜率和直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．