Question

16．已知f（x）=xlnx，则f（x）在x=1处的切线方程是y=x-1，若存在x＞0使得f（x）≤2x+m成立，则实数m的取值范围是[-e，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到f′（1），再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；由f（x）≤2x+m，得xlnx≤2x+m，即m≥xlnx-2x．构造函数g（x）=xlnx-2x，利用导数求其最小值可得满足条件的m的范围．

解答 解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴f（x）在x=1处的切线方程是y-0=1×（x-1），即y=x-1；
由f（x）≤2x+m，得xlnx≤2x+m，
即m≥xlnx-2x．
令g（x）=xlnx-2x，则g′（x）=lnx-1，
由g′（x）=lnx-1=0，得x=e．
∴当x∈（0，e）时，g′（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＞0．
∴当x=e时，g（x）有最小值为-e．
∴若存在x＞0使得f（x）≤2x+m成立，则实数m的取值范围是[-e，+∞）．
故答案为：y=x-1，[-e，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．