Question

6．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos²A+$\sqrt{3}$sin2A=2，b=1，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则A=$\frac{π}{3}$，$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=2．

Answer 1

分析 由已知利用三角函数恒等变换的应用可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可求范围：2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质可求A的值，利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求a的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解．

解答 解：∵2cos²A+$\sqrt{3}$sin2A=2，可得：cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，可得：2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{3}$．
∵b=1，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=2，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{b+c}{sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
故答案为：$\frac{π}{3}$，2．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，比例的性质及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．