Question

15．已知f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（2cosx，-\sqrt{3}sin2x），\overrightarrow b=（cosx，1），x∈R$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，且向量$\overrightarrow m=（3，sinB）$与$\overrightarrow n=（2，sinC）$共线，求边长b和c的值．

Answer 1

分析 （1）由向量数量积的坐标运算求得f（x），降幂后利用辅助角公式化简，再由周期公式求得周期；
（2）由f（A）=-1求得角A，再由余弦定理可得关于b，c的方程，由向量$\overrightarrow m=（3，sinB）$与$\overrightarrow n=（2，sinC）$共线可得2sinB=3sinC，结合正弦定理得到2b=3c，联立即可求得b，c的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（2cosx，-\sqrt{3}sin2x），\overrightarrow b=（cosx，1），x∈R$，
∴$f（x）=2{cos^2}x-\sqrt{3}sin2x=1+cos2x-\sqrt{3}sin2x=1+2cos（2x+\frac{π}{3}）$，
∴函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵$f（A）=1+2cos（2A+\frac{π}{3}）=-1$，
∴$cos（2A+\frac{π}{3}）=-1$，又0＜A＜π，∴$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，即$A=\frac{π}{3}$，
∵$a=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
即$\frac{7}{4}=（b+c）^{2}-3bc$，①
∵向量$\overrightarrow m=（3，sinB）$与$\overrightarrow n=（2，sinC）$共线，∴2sinB=3sinC，
由正弦定理可得2b=3c，②
联立①②得：$b=\frac{3}{2}，c=1$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了三角形的解法，是中档题．