Question

5．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-2b₂=7．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=a_nb_n，n∈N*，求数列{C_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q（q＞0），数列{b_n}的公差为d，由$\left\{\begin{array}{l}{2{q}^{2}-3d=2}\\{{q}^{4}-3d=10}\end{array}\right.$，整理得q⁴-2q²-8=0，得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，于是可得{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C_n=a_nb_n=（2n-1）2^n-1，利用错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q（q＞0），数列{b_n}的公差为d，
由$\left\{\begin{array}{l}{2{q}^{2}-3d=2}\\{{q}^{4}-3d=10}\end{array}\right.$，整理得q⁴-2q²-8=0，得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，b_n=2n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C_n=a_nb_n=（2n-1）2^n-1，
设数列{C_n}的前n项和为s_n
  s_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1．
2s_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ
两式相减得-s_n=1+2²+2³+3⁴+…+2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ=-（2n-3）×2ⁿ-3
s_n=（2n-3）×2ⁿ+3，（n∈N⁺）

点评 本题考查了等差数列、等比数列的通项，错位相减法求和，属于中档题．