Question

14．若函数f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，（a＞0）存在负数零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （2，6）
• C． （0，6）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 先利用导数判断函数的单调性和最值，再根据存在负数零点，则满足f（0）＜0，解得即可

解答 解：∵f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，
∴f′（x）=（x-1）（e^x+2a），
∵a＞0，
∴e^x+2a＞0，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=-e＜0，
若函数f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²（a＞0）存在负数零点，
∴f（0）=-2+a＜0，解得0＜a＜2，
故选：D．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值，以及函数零点的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题