Question

7．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点为F，过点F作平行于渐进线的一条直线交C于点P，交y轴于点Q，若|PQ|=2|PF|，则C的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设双曲线的右焦点为F．设PF平行于渐近线：y=$\frac{b}{a}$x，则直线PF的方程：y=$\frac{b}{a}$（x-c），与双曲线联立解得x_P，根据|PQ|=2|PF|，即可得出．

解答 解：如图所示，设双曲线的右焦点为F．
设PF平行于渐近线：y=$\frac{b}{a}$x，则直线PF的方程：y=$\frac{b}{a}$（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：x=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$．
∵|PQ|=2|PF|，∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$=2×$（c-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}）$，
化为：c²=3a²，
解得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．