Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e=2，左右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，若|F₁F₂|=4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若P是双曲线上的任意一点，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用|F₁F₂|=4，双曲线的离心率为e=2，求出几何量a，b，即可求双曲线的标准方程；
（2）设P（x₀，y₀），则y₀²=3（x₀²-1），利用数量积公式求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$，结合x₀≥1，即可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范围．

解答 解：（1）由题意，|F₁F₂|=4，双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=2，
∴c=2，a=1，
∴b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设P（x₀，y₀），则y₀²=3（x₀²-1），
∵A（1，0），F₁（-2，0），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$=（-2-x₀，-y₀）•（1-x₀，-y₀）
=（-2-x₀）（1-x₀）+y₀²=4x₀²+x₀-5，
由双曲线方程得x₀≥1或x₀≤-1，二次函数开口向上，对称轴x=-$\frac{1}{8}$＜1且-$\frac{1}{8}$＞-1，
当x₀=1时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$取值0，当x₀=-1时，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$取值-2．
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{PA}$的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．