Question

20．某校从高一年级随机抽取了20名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩，列表如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数学学期综合成绩	96	92	91	91	81	76	82	79	90	93
物理学期综合成绩	91	94	90	92	90	78	91	71	78	84
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学学期综合成绩	68	72	79	70	64	61	63	66	53	59
物理学期综合成绩	79	78	62	72	62	60	68	72	56	54

规定：综合成绩不低于90分者为优秀，低于90分为不优秀．
（Ⅰ）对优秀赋分2，对不优秀赋分1，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用ξ表示这2名学生两科赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据这次抽查数据，列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关？
附：${K}^{2}=\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）根据这次抽查数据，填写列联表，计算K²，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，ξ的可能取值为4，5，6，7，8；
又P（ξ=4）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$，P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$，P（ξ=7）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$，
P（ξ=8）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$；
所以ξ的分布列为；

ξ	4	5	6	7	8
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{24}{95}$	$\frac{27}{95}$	$\frac{8}{95}$	$\frac{3}{95}$

ξ的数学期望为Eξ=4×$\frac{33}{95}$+5×$\frac{24}{95}$+6×$\frac{27}{95}$+7×$\frac{8}{95}$+8×$\frac{3}{95}$=$\frac{26}{5}$；
（Ⅱ）根据这次抽查数据，列出2×2列联表如下：

	数学优秀	数学不优秀	合计
物理优秀	4	2	6
物理不优秀	2	12	14
合计	6	14	20

计算K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{20{×（4×12-2×2）}^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488＞5.024，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．