Question

5．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a，求该数列各项的和．

Answer 1

分析 等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a，可得a₁=$\frac{1}{3}$+a，a₁+a₂=$\frac{1}{9}$+a，a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{27}$+a．解得a₁，a₂，a₃，再利用无穷等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a，
∴a₁=$\frac{1}{3}$+a，a₁+a₂=$\frac{1}{9}$+a，a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{27}$+a，
解得a₁=$\frac{1}{3}$+a，a₂=-$\frac{2}{9}$，a₃=$\frac{-2}{27}$，
∴$（-\frac{2}{9}）^{2}$=-$\frac{2}{27}$×$（\frac{1}{3}+a）$，
解得：a=-1．
可得a₁=-$\frac{2}{3}$，q=$\frac{-\frac{2}{9}}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{3}$
∴该数列各项的和=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法、无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．