Question

2．在△ABC中，已知$\sqrt{3}tanAtanB-\sqrt{3}=tanA+tanB$，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正切函数以及三角形内角求解即可．
（2）利用正弦定理转化求解表达式为$\frac{16}{3}+\frac{8}{3}sin（2A-\frac{π}{6}）$，利用三角函数的最值求解即可．

解答 解：（1）依题意：$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\sqrt{3}$，即$tan（A+B）=-\sqrt{3}$，又0＜A+B＜π，
∴$A+B=\frac{2π}{3}$，∴$C=π-A-B=\frac{π}{3}$；
（2）由三角形是锐角三角形可得$\left\{\begin{array}{l}A＜\frac{π}{2}\\ B＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，即$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得$a=\frac{c}{sinC}×sinA=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinA$，
$b=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinB=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{2π}{3}-A）$，
${a^2}+{b^2}=\frac{16}{3}[{sin^2}A+{sin^2}（\frac{2}{3}π-A）]$
=$\frac{16}{3}-\frac{8}{3}[cos2A+cos（\frac{4π}{3}-2A）]$
=$\frac{16}{3}-\frac{8}{3}[cos2A+（-\frac{1}{2}）cos2A+（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）sin2A]$
=$\frac{16}{3}-\frac{8}{3}（\frac{1}{2}cos2A-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A）$
=$\frac{16}{3}+\frac{8}{3}sin（2A-\frac{π}{6}）$，
∵$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$即$\frac{20}{3}＜{a^2}+{b^2}≤8$．

点评 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．