Question

6．若不等式|x-1|+|x+1|≥|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|对任意实数a≠0恒成立，则实数x的取值范围是{x|x≤-2，或 x≥2}．

Answer 1

分析 利用绝对值三角不等式求得|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|的最大值为4，可得|x-1|+|x+1|≥4，由此分类讨论，去掉绝对值，求得实数x的取值范围．

解答 解：由于|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|≤|$\frac{1}{a}$+1-（$\frac{1}{a}$-3）|=4，即|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|的最大值为4，
而不等式|x-1|+|x+1|≥|$\frac{1}{a}$+1|-|$\frac{1}{a}$-3|对任意实数a≠0恒成立，
∴|x-1|+|x+1|≥4，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-x-x-1≥4}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{1-x+x+1≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1+x+1≥4}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得 x≥2，
故原不等式的解集为{x|x≤-2，或 x≥2}，
故答案为：{x|x≤-2，或x≥2}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．