Question

16．设A={x|x²+4x≤0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1＜0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由A与B的交集为B，得到B为A的子集，由A与B确定出a的范围即可．

解答 解：A={x|-4≤x≤0}，又A∩B=B，
∴B⊆A，
（i）B=∅时，△=4（a+1）²-4（a²-1）≤0，得a≤-1；
（ii）B≠∅时，设f（x）=x²+2（a+1）x+a²-1，
令x²+2（a+1）x+a²-1=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则有-4≤x₁＜x₂≤0，即$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（{-4}）≥0}\\{f（0）≥0}\\{-4≤-（{a+1}）≤0}\end{array}}\right.$，
解得：a=1，
综上，a的范围是a≤-1或a=1．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．