Question

13．有一块边长为8m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为xm的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池．
（1）写出以x为自变量的蓄水池容积V的函数解析式V（x），并求函数V（x）的定义域；
（2）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大，并求出最大容积．

Answer 1

分析 （1）设蓄水池的底面边长为a，则a=6-2x，则蓄水池的容积为：V（x）=x（6-2x）²．由此能写出以x为自变量的容积V的函数解析式V（x），并求出函数V（x）的定义域；
（2）由V（x）=x（6-2x）²=4x³-24x²+36x得V'（x）=12x²-48x+36．由此能求出函数V（x）的单调区间．由此能求出蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大和最大容积是多少．

解答 解：（1）设蓄水池的底面边长为a，
则a=8-2x，
则蓄水池的容积为：V（x）=x（8-2x）²．
由$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ 8-2x＞0\end{array}\right.$，
得函数V（x）的定义域为x∈（0，4）．（4分）
（2）由V（x）=x（8-2x）²=4x³-32x²+64x，
得V'（x）=12x²-64x+64．
令V'（x）=12x²-64x+64＞0，
解得x＜$\frac{4}{3}$或x＞4；
令V'（x）=12x²-64x+64＜0，解得$\frac{4}{3}$＜x＜4．
∵函数V（x）的定义域为x∈（0，4），
∴函数V（x）的单调增区间是：（0，$\frac{4}{3}$）；函数V（x）的单调减区间是：（$\frac{4}{3}$，4）．
并求得V（$\frac{4}{3}$）=$\frac{1024}{27}$．
由V（x）的单调性知，$\frac{1024}{27}$为V（x）的最大值．此时a=$\frac{16}{3}$m，
故蓄水池的底边为$\frac{16}{3}$m时，蓄水池的容积最大，其最大容积是$\frac{1024}{27}$m³．（12分）

点评 本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数解题．易错点是理不清数量间的相互关系，不能正确地建立方程．再求单调区间时要注意函数的定义域．