Question

18．已知函数f（x）=mx²+mx-1．
（1）若对于任意x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）＜（m+2）x²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过m是否为0，利用二次函数的性质转化求解即可．
（2）对于任意x∈[0，+∞），f（x）＜（m+2）x²恒成立，列出m的不等式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）当m=0时，-1＜0，符合对于任意x∈R，f（x）＜0恒成立；
当m≠0时，对于任意x∈R，f（x）＜0恒成立，即mx²+mx-1＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△＜0\end{array}\right.$，解得-4＜m＜0，
综上，实数m的取值范围：（-4，0]．
（2）对于任意x∈[0，+∞），f（x）＜（m+2）x²恒成立，化简得：mx＜2x²+1．
当x=0时，不等式恒成立，即m∈R，
当x＞0时，$m＜2x+\frac{1}{x}$，
因为x＞0，所以$2x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{2}$，即$m＜2\sqrt{2}$，
综上，$m＜2\sqrt{2}$．实数m的取值范围：（-∞，$2\sqrt{2}$）．

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的性质，分类讨论思想的应用，考查计算能力．