Question

9．已知动点A，B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（-1，0）．
（1）证明线段AB的中点M在定直线上；
（2）求线段AB长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（-2，0），在直线y=0，当AB与x轴不垂直时，利用平方差法推出$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$，说明M在直线x=-2上．
（2）当AB与x轴垂直时，$|AB|=2\sqrt{2}$，当AB与x轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．

解答 （本题满分15分）
解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（-2，0），在直线y=0，…（2分）
当AB与x轴不垂直时，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=2{x_0}\\{y_1}+{y_2}=2{y_0}\\ \frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1\end{array}\right.$
两式相减，得$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{8}+\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{4}=0$，即$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$，…（6分）
所以x₀=-2，即M在直线x=-2上．                              …（7分）
（2）当AB与x轴垂直时，$|AB|=2\sqrt{2}$，…（9分）
$当AB与x轴不垂直时，由（1）知{l_{AB}}：y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x+2}），由\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=\frac{1}{y_0}（{x+2}）\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，
∴x₁+x₂=-4，${x_1}{x_2}=\frac{{2{y_0}^4+8}}{{{y_0}^2+2}}$，
∴$AB=\sqrt{（{1+\frac{1}{y_0}}）×（{16-4×\frac{{2{y_0}^4+8}}{{{y_0}^2+2}}}）}$
=$\sqrt{\frac{8（y_0^2+1）（2-y_0^2）}{y_0^2+2}}=2\sqrt{2}×\sqrt{-[{（{y_0^2+2}）+\frac{4}{y_0^2+2}}]+5}≤2\sqrt{2}$…（14分）
∴$|AB{|_{max}}=2\sqrt{2}$．                                                …（15分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．