Question

18．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD
（1）求证：MN∥平面PAD        
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）设PD的中点为点E，连接AE，NE，可得AMNE是平行四边形，即可得MN∥平面PAD
（2）由AE⊥PD，CD⊥AE，得AE⊥平面PCD，结合MN∥AE，可得MN⊥平面PCD，即可证得平面PMC⊥平面PCD

解答 解：（1）设PD的中点为点E，连接AE，NE，
由点N为PC的中点知EN∥$\frac{1}{2}$DC，EN=$\frac{1}{2}$DC，
又ABCD是矩形，所以DC∥AB，DC=AB，所以EN∥$\frac{1}{2}$AB，EN=$\frac{1}{2}$AB，
又点M是AB的中点，所以EN∥AM，EN=AM，所以AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（6分）
（2）因为PA=AD，所以AE⊥PD，又因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥PA，而CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，因为PD∩CD=D，
所以AE⊥平面PCD，因为MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD．（12分）

点评 本题考查了空间线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．