Question

6．下列结论正确的是①④．
①（x²-4）（x+$\frac{1}{x}$）⁹的展开式中x³的系数为-210；
②在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；
③已知命题“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是减函数”，是真命题；
④不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立的充要条件是0≤a≤2．

Answer 1

分析 求出（x²-4）（x+$\frac{1}{x}$）⁹的展开式中x³的系数判断①；
有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，表示有1%的可能性使推断出现错误，不表示有99%的可能患有肺病判断②；
由“增函数”的否定为“不是增函数”判断③；
求出不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立的a的取值范围判断④．

解答 解：对于①，（x²-4）（x+$\frac{1}{x}$）⁹的展开式中x³项是（x+$\frac{1}{x}$）⁹的中的一次项与x²的积加上（x+$\frac{1}{x}$）⁹的中的三次项与（-4）的积，
即x²•${C}_{9}^{4}{x}^{5}（\frac{1}{x}）^{4}$-4•${C}_{9}^{3}{x}^{6}（\frac{1}{x}）^{3}$=-210，系数为-210，故①正确；
对于②，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，即有1%的可能性使推断出现错误，不表示有99%的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患肺病，故②不正确；
对于③，已知命题“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是增函数”，故③不正确；
对于④，不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立，则当a=0时，满足条件；当a≠0时，有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（1）=-a-2≥0}\\{\frac{2a-3}{a}≤1}\end{array}\right.$，解得0＜a≤2．
∴不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立的充要条件是0≤a≤2成立，故④正确．
∴正确的命题是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题的真假判定与应用，考查学生对教材基础知识的掌握，属于中档题．