Question

11．已知$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=2，a=2，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，利用向量的坐标运算求解出f（x）的解析式即可求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）根据f（A）=2，求出A角的大小，a=2，利用正弦定理表示出b，c．利用三角函数的有界限即可求△ABC的周长的取值范围．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）（x∈R）．
∵$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，
∴f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
令$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$．
∴单调递增区间[$kπ-\frac{π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2
得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
a=2，
正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$，c=$\frac{asinC}{sinA}$，
设△ABC的周长为L，则L=a+b+c=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）．
∵A=$\frac{π}{3}$．
∴C=$\frac{2π}{3}-B$，$0＜B＜\frac{2π}{3}$．
则L=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}-B$））=2+4cos（B-$\frac{π}{3}$）．
B$-\frac{π}{3}$∈（$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（B-$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]．
故得△ABC的周长L的取值范围是（4，6]．

点评 本题考查了向量的坐标运算，三角函数的化解能力和正弦定理的计算．属于中档题．