Question

19．将函数y=-x²+x（x∈[0，1]）图象绕点（1，0）顺时针旋转θ角（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图象，则θ的最大值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 确定函数在x=1处，函数图象的切线斜率，可得倾斜角，从而可得角θ的 最大值．

解答 解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，$\frac{1}{2}$]上为增函数，在[$\frac{1}{2}$，1]上为减函数．
设函数在x=1处，切线斜率为k，则k=f'（1）
∵f'（x）=-2x+1，
∴∴k=f'（1）=-1，可得切线的倾斜角为135°，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为 90°，也就是说，最大旋转角为135°-90°=45°，即θ的最大值为45°即$\frac{π}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，将函数图象绕原点逆时针旋转θ后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角θ的最大值，属于中档题．