Question

7．已知数列{a_n}的奇数项依次构成公差为d₁的等差数列，偶数项依次构成公差为d₂的等差数列（其中d₁，d₂为整数），且对任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，若a₁=1，a₂=2，且数列{a_n}的前10项和S₁₀=75，则d₁=，3，a₈=11．

Answer 1

分析 数列{a_n}的奇数项依次构成公差为d₁的等差数列，偶数项依次构成公差为d₂的等差数列，且对任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，a₁=1，a₂=2，且数列{a_n}的前10项和S₁₀=75，可得5×1+$\frac{5×4}{2}$d₁+$5×2+\frac{5×4}{2}$×d₂=75，化为：d₁+d₂=6．且对任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，其中d₁，d₂为整数．可得a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的奇数项依次构成公差为d₁的等差数列，偶数项依次构成公差为d₂的等差数列，且对任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，a₁=1，a₂=2，且数列{a_n}的前10项和S₁₀=75，
∴5×1+$\frac{5×4}{2}$d₁+$5×2+\frac{5×4}{2}$×d₂=75，化为：d₁+d₂=6．
且对任意n∈N^*，都有a_n＜a_n+1，其中d₁，d₂为整数．
a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，
1+（k-1）d₁＜2+（k-1）d₂＜1+kd₁，
取k=2时，可得1+d₁＜2+d₂＜1+2d₁．
∴d₁=3=d₂．
∴a₈=a₂+3d₂=2+3×3=11．
故答案分别为：3，11．

点评 本题考查了数列递推关系、不等式的性质、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．