Question

9．某厂生产一种供不应求产品时，每年需投入固定成本250万元，每生产此产品x千件还需另投入C（x）=51x$+\frac{10000}{x}$-1450万元，已知此产品每千件产品的售价为50万元
（1）设该产品的年利润为L（x）（万元），求年利润L（x）的函数式
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产销售中所获年利润最大．

Answer 1

分析 （1）利用题意建立方程，能求出该产品的年利润的函数式．
（2）L（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-2$\sqrt{x•\frac{10000}{x}}$=1200-200=1000万元，由此能求出当年产量为100千件时年利润最大，年利润最大值为1000万元．

解答 解：（1）该产品的年利润为L（x）（万元），
年利润L（x）=50x-51x-$\frac{10000}{x}$+1450-250=1200-（x+$\frac{10000}{x}$），x＞0．
（2）L（x）=1200-（x+$\frac{10000}{x}$）≤1200-2$\sqrt{x•\frac{10000}{x}}$=1200-200=1000万元，
当x=$\frac{10000}{x}$，即x=100时等号成立，
∴当年产量为100千件时年利润最大，年利润最大值为1000万元．

点评 本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、均值不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．