Question

14．已知数列{a_n}（n∈N^*），a₂=-9．
（1）若数列{a_n}是等比数列，且a₅=-$\frac{1}{3}$，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，且a₆=-1，数列{b_n}满足b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，当b₁b₂…b_m=1（m∈N^*）时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；
（2）数列{a_n}是公差为d的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，可得数列{a_n}的通项，进而得到b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-13，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）数列{a_n}是公比为q的等比数列，
a₂=-9，a₅=-$\frac{1}{3}$，可得a₁q=-9，a₁q⁴=-$\frac{1}{3}$，
解得q=$\frac{1}{3}$，a₁=-27，
可得a_n=a₁q^n-1=-（$\frac{1}{3}$）^n-4，（n∈N^*）；
（2）数列{a_n}是公差为d的等差数列，
a₂=-9，a₆=-1，可得a₁+d=-9，a₁+5d=-1，
解得a₁=-11，d=2，
则a_n=a₁+（n-1）d=2n-13，
b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-13，
b₁b₂…b_m=1，可得2${\;}^{\frac{1}{2}m（2m-24）}$=1，
可得m（m-12）=0，
解得m=12（0舍去）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．