Question

2．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+co{s^2}x+1$．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，且△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递减区间．
（2）由已知及（1）可得$sin（{2C+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，结合范围可求$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，进而可求C的值，利用三角形面积公式可求ab，进而利用余弦定理，正弦定理可求三角形外接圆的半径．

解答 解：（1）函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+co{s^2}x+1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$，
故最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得：$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
故函数的单调递减区间为：[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）由f（C）=2，可得$sin（{2C+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，
所以$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
所以$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，从而$C=\frac{π}{3}$．
由S=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$，ab=$\frac{4}{3}$，
由余弦定理有：c²=（a+b）²-2ab-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，
∴$c=2\sqrt{3}$，由正弦定理有：$R=\frac{1}{2}×\frac{c}{sinC}=2$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．