Question

10．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=$\frac{3x-2}{x}$（x＞1），已知生产该产品的年固定投入为3万元，每生产1万件该产品另需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本（生产成本不含广告费）的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（年利润=销售收入-成本）
（2）当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？

Answer 1

分析 （1）求出销售单价，推出销售收入，然后求解年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数．
（2）利用基本不等式求解企业的年利润最大值即可．

解答 解：（1）由题意，产品的生产成本为（32Q+3）万元，
销售单价为$\frac{32Q+3}{Q}$×150%+$\frac{x}{Q}$×50%（2分）
故年销售收入为y=（$\frac{32Q+3}{Q}$×150%+$\frac{x}{Q}$×50%）•Q=48Q+$\frac{9}{2}$+$\frac{1}{2}$x
∴W=y-（32Q+3）-x=16Q+$\frac{3}{2}$-$\frac{x}{2}$=49.5-$\frac{32}{x}$-$\frac{x}{2}$（x＞1）（6分）
（2）∵W=49.5-（$\frac{32}{x}$+$\frac{x}{2}$）≤49.5-2$\sqrt{\frac{32}{x}•\frac{x}{2}}$=49.5-8=41.5．（9分）
当且仅当$\frac{32}{x}$=$\frac{x}{2}$，即x=8时，W有最大值41.5（11分）
∴当年广告费为8万元时，企业年利润最大，为41.5万元．（12分）

点评 本题考查函数与方程的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．