Question

20．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程，比如在表达式1$+\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}$中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1$+\frac{1}{x}$=x（x＞0）求得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，类似上述过程，则 $\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{…}}}$=3．

Answer 1

分析 通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可

解答 解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令$\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{…}}}$=m（m＞0），
则两边平方得，则3+2$\sqrt{3+2\sqrt{3+2\sqrt{…}}}$=m²，
即3+2m=m²，解得，m=3，m=-1舍去．
故答案为：3．

点评 本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．