Question

5．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，$\sqrt{3}$cos²x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$．利用向量的乘积运算求出f（x）的解析式，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据锐角A满足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，求出角A的值．利用正弦定理表示出sinB，sinC，sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，结合余弦定理，求出bc的值．即可求解△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$．
可得f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）已知锐角A满足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，
可得2sin[2（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$，
即2sinA=$\sqrt{3}$
又∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
又∵a=7，sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，
由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$，sinC=$\frac{csinA}{a}$，
∴$\frac{bsinA}{a}$+$\frac{csinA}{a}$=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，
可得：b+c=13
由余弦定理可知，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
可求得：bc=40．
故得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$10\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的乘积运算求f（x）的解析式和三角函数最小正周期的求法，以及正弦定理余弦定理的运用，△ABC面积的计算．属于中档题．