Question

18．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点M（0，$\sqrt{3}$）与点F₂的连线交C于点N，且N是线段MF₂的中点，F₁N⊥MF₂，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+2}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 运用F₁N为MF₂的垂直平分线，可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，由对称性可得|MF₂|=|MF₁|=2c，|NF₂|=c，|NF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，再由双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：N是线段MF₂的中点，F₁N⊥MF₂，
可得F₁N为MF₂的垂直平分线，
可得|MF₁|=|F₁F₂|=2c，
由对称性可得|MF₂|=|MF₁|=2c，
|NF₂|=c，|NF₁|=$\sqrt{4{c}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$c，
则2a=|NF₁|-|NF₂|=$\sqrt{3}$c-c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=1+$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和线段的垂直平分线、勾股定理，考查运算能力，属于中档题．