Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+3，则S₅=201．

Answer 1

分析 由a_n+1=2S_n+3，可得S_n+1-S_n=2S_n+3，化为：S_n+1+$\frac{3}{2}$=3$（{S}_{n}+\frac{3}{2}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：由a_n+1=2S_n+3，可得S_n+1-S_n=2S_n+3，
化为：S_n+1+$\frac{3}{2}$=3$（{S}_{n}+\frac{3}{2}）$，
可得数列$\{{S}_{n}+\frac{3}{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{5}{2}$，公比为3．
∴S_n+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$×3^n-1，即S_n=$\frac{5}{2}$×3^n-1-$\frac{3}{2}$，
∴S₅=$\frac{5}{2}×{3}^{4}$-$\frac{3}{2}$=201．
故答案为：201．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．