Question

17．过点M（4，0）作圆x²+y²=4的两条切线MA，MB，A，B为切点，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（　　）

• A． 6
• B． -6
• C． 10
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，求得MA=MB的值，以及∠AMB的值，再利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|•cos$\frac{π}{3}$的值．

解答 解：过点M（4，0）作圆x²+y²=4的两条切线MA，MB，A，B为切点，MA=MB=$\sqrt{{4}^{2}{-2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由于圆的半径为2，原点为圆心，
在Rt△OMA中，sin∠OMA=$\frac{OA}{OM}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OMA=$\frac{π}{6}$，
同理可得，∠OMB=$\frac{π}{6}$，
∴∠AMB=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$
=$\frac{π}{3}$，
则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|•cos$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$•2$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$
=6，
故选：A．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题．